Question

Дано: ΔABC, AB=BC, E-точка пересечения BD и AE, BD-высота; AE-биссектриса, sin∠ABD=5/15, A(-15;-2), C(35;-2)
Найти: R
Решение: ?
***нужно решить через формулу Герона и найти радиус по формуле: R=abc/4S***

Answer 1

Основание АС треугольника АВС равно 35 - (-15) = 50 ед.
Тогда AD = 50:2 = 25 ед.
По условию AD:AB = 5:15, откуда АВ = 15*5 = 75 ед.

Полупериметр треугольника АВС равен (75 + 75 + 50)/2 = 100 ед.

Его площадь (по формуле Герона) равна $sqrt{100*(100 - 75)*(100 - 75)*(100 - 50)} = sqrt{100*25*25*50}$ = 1250√2.

Радиус описанной окружности равен
R = 75*75*50/(4*1250√2) = 28 1/8 *√2

Answer 2

Найдем длину АС:
$AC= sqrt{(35-(-15))^2+(-2-(-2))^2} =50$
Так как АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Тогда, ВD - также медиана и биссектриса.
Найдем AD и DC:
$AD=DC= frac{AC}{2} = frac{50}{2} =25$
Рассмотрим треугольник АВD:
$sin ABD= frac{AD}{AB} Rightarrow AB= frac{AD}{sin ABD} \ AB= frac{25}{5/15} =75$
Так как треугольник равнобедренный, то и третья его сторона равна 75.
По формуле Герона:
$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где а, b, c - стороны треугольника, р - его полупериметр
Найдем полупериметр:
$p= frac{AB+BC+AC}{2} = frac{75+75+50}{2} =100$
Находим площадь:
$S= sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} \ S= sqrt{100(100-75)(100-75)(100-50)} =sqrt{100cdot 25cdot 25cdot 50} =1250 sqrt{2}$
Находим R по заданной формуле:
$R= cfrac{abc}{4S} \ R= cfrac{75cdot75cdot50}{4cdot 1250sqrt{2} } = cfrac{225}{4sqrt{2} } =cfrac{225 sqrt{2} }{8 }$
Ответ: $cfrac{225 sqrt{2} }{8 }$