Question

Помогите пожалуйста решить номера 77,79,81 и 87.

Answer 1

77. $int { frac{dx}{x^2+x-12} }=int { frac{dx}{(x+4)(x-3)} }= int {( frac{A}{x+4}+ frac{B}{x-3} )} , dx$
Метод неопределенных коэффициентов
$frac{A}{x+4}+ frac{B}{x-3} = frac{A(x-3)+B(x+4)}{(x+4)(x-3)} = frac{Ax-3A+Bx+4B}{(x+4)(x-3)} =$
$frac{x(A+B)+(-3A+4B)}{(x+4)(x-3)}= frac{1}{(x+4)(x-3)}$
{ A + B = 0
{ -3A + 4B = 1
Получаем
{ B = -A
{ -3A - 4A = 1
A = -1/7; B = 1/7
$int { frac{dx}{x^2+x-12} }=int { frac{dx}{(x-3)(x+4)} }= frac{1}{7} int {( frac{1}{x-3}- frac{1}{x+4} )} , dx = frac{1}{7}ln| frac{x-3}{x+4} | +C$

79) $int { frac{dx}{3+2x-x^2} }=-int { frac{dx}{x^2-2x-3} }=-int { frac{dx}{(x+1)(x-3)} }=- int {( frac{A}{x+1}+ frac{B}{x-3})} , dx$
Опять метод неопределенных коэффициентов
$frac{A}{x+1}+ frac{B}{x-3} = frac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x-3)} = frac{Ax-3A+Bx+B}{(x+1)(x-3)} =$
$= frac{x(A+B)+(-3A+B)}{(x+1)(x-3)} = frac{1}{(x+1)(x-3)}$
{ A + B = 0
{ -3A + B = 1
Получаем
{ B = -A
{ -3A - A = 1
A = -1/4; B = 1/4
$int { frac{dx}{3+2x-x^2} }=-int { frac{dx}{x^2-2x-3} }=- frac{1}{4} int {(- frac{1}{x+1}+ frac{1}{x-3} )} , dx =$
$=frac{1}{4} int {(frac{1}{x-3}- frac{1}{x+1} )} , dx = frac{1}{4} ln| frac{x-3}{x+1} |+C$

81) $int { frac{dx}{ sqrt{x^2+6x+20} } }= int { frac{dx}{ sqrt{x^2+6x+9+11} } }= int { frac{dx}{ sqrt{(x+3)^2+11} } }=$
$=ln|x+sqrt{(x+3)^2+11}|+C$

87) $int { frac{dx}{ sqrt{15+12x-4x^2} } }=int { frac{dx}{ sqrt{24-9+12x-4x^2} } }=int { frac{dx}{ sqrt{24-(2x-3)^2} } }=$
$= frac{1}{2} arcsin( frac{2x-3}{ sqrt{24} } )+C$