Question

Найти общее решение линейного однородного диф. ур. с постоянными коэффициентами
3.y'''+2y''-3y'=0
4.y'''+8y''+5y'-50y=0
5.3y'''-27y=0

Answer 1

$y'''+2y''-3y'=0\ lambda^3+2lambda^2-3lambda=0\ lambda(lambda+3)(lambda-1)=0\ lambdain{-3,0,1}\ y(x)=C_1e^{-3x}+C_2e^x+C_3$

$y'''+8y''+5y'-50y=0\ lambda^3+8lambda^2+5lambda-50=0\ (lambda-2)(lambda+5)(lambda+5)=0\ y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{-5x}+C_3xe^{-5x}$

$3y'''-27y=0\ 3lambda^3=27\ lambda^3=9\ lambda=sqrt[3]{9}e^{ifrac{2pi}{3}k} : kin{0,1,2}\ y(x)=e^{sqrt[3]{9}x}left(C_1+C_2cos(frac{2pi}{3}x)+C_3sin(frac{2pi}{3}x)right)$

Answer 2

Опускаем теорию и, в сухом остатке, получаем: для решения подобного уравнения нужно 1) найти корни характеристического многочлена 2) построить базис пространства 3) представить общее решение как линейную комбинацию базис-векторов.

Answer 3

Разбираю первый пример: вторая строка - характеристический многочлен, в третьей и четвёртой строке нахожу его корни: -3, 0, 1. Из корней получаю базис: {e^(-3x), e^(0x), e^(1x)}. Любое решение - линейная комбинация этих векторов, потому общее решение можно записать как y(x)=C1*e^(-3x)+C2*e^(0x)+C3*e^(2x).

Answer 4

Осталась пара ньюансов: 1) если несколько корней совпадают (задача 2), тогда в базис попадают (для примера возьму 4 одинаковых корня): e^(лямбда*x), x*e^(лямбда*x), x^2*e^(лямбда*x) и x^3*e^(лямбда*x). 2) если корни комплексные (задача 3), то в базис идут e^(ax)*cos(bx), e^(ax)sin(bx) где a+bi и a-bi - сопряжённые комплексные корни. ----------------------------------- Естественно, для всего вышесказанного есть математические доказательства. Если интересует теория, или что не ясно - пиши!

Answer 5

Спасибо огромное! теперь более менее мне стало ясно
очень помогли, благодарю!

Answer 6

Не вопрос, обращайся!