Question

сделать чертёж и вычислить площадь фигуры ограниченной линии y=6x-x 2-5, Ox

Answer 1

$y=6x-x^2-5\ y=-x^2+6x-5$

График - парабола, ветви её направлены вниз (коэффициент при икс квадрат отрицательный).

Координаты вершины параболы:

$x_0=-frac{b}{2a}=frac62=3,\ y_0=-frac{D}{4a}=-frac{b^2-4ac}{4a}=-frac{36-4cdot1cdot5}{4(-1)}=frac{16}4=4$

То есть, вершина параболы находится в точке (3;4).

Найдём точки пересечения параболы с осями координат:

$c;OY,;x=0\ y=-0+0-5=-5\ c;OX,;y=0\ -x^2+6x-5=0\ D=16=4^2\ x_1=1,;x_2=5$

Сделаем чертёж (см.рис. - искомая фигура обозначена серым цветом). Парабола находится выше оси OX, поэтому площадь фигуры будем искать по формуле

$intlimits_b^a(-x^2+6x-5-0)dx$

Точки пересечения с осью ОХ - это пределы интегрирования. a=1, b=5

$intlimits_1^5(-x^2+6x-5)dx=-frac13x^3+3x^2-5x|limits_1^5=\ =-frac13cdot125+3cdot25-5cdot5+frac13-3+5=-frac{125}3+frac13+52=\ =-41frac13+52=8frac23$