Question

Последовательность задана рекуррентным соотношением: Xn+₁=√( 3Xn-2), X1=3/2. Найдите предел последовательности.

Answer 1

Решение делим на две части:
I. доказываем монотонный прирост и ограниченность
II. находим предел последовательности

Часть I:
монотонность доказываем по индукции:
Проверка: $x_2=sqrt{3frac{3}{2}-2}=sqrt{frac{5}{2}} textgreater frac{3}{2}=x_1 Rightarrow x_2 textgreater x_1$
Предполагаем справедливость неравенства для любого $k textless n+1$
Доказываем для $x_{n+1}$:
$x_{n+1}=sqrt{3x_n-2} textgreater sqrt{3x_{n-1}-2}=x_n Rightarrow x_{n+1} textgreater x_n$
Монотонный прирост доказан.

Ограниченность сверху:
$x_n textless 2 Rightarrow 3x_n textless 6 Rightarrow3x_n-2 textless 4 Rightarrowsqrt{3x_n-2} textless 2 Rightarrow x_{n+1} textless 2$

Условие выполняется для $x_1$, по индукции получаем справедливость для любого $x_n$.
($x_{n+1}:=sqrt{...} Rightarrow x_{n+1}geq 0$, потому можно извлечь корень)
(*) Последовательность монотонна и ограниченна, следовательно сходится к супремуму.

Часть II.
Определим $l:=sup{x_n}_{ninmathbb{N}}$. Из (*) следует:
$lim_{ntoinfty}x_n=l$, но для больших $ninmathbb{N}$ выполняется $|x_{n+1}-x_n| textless epsilon$ (Коши), следовательно $lim_{ntoinfty}x_{n+1}=l$
Подставялем в рекурсию и получаем:
$sqrt{3l-2}=l Rightarrow l^2-3l+2=0 Rightarrow l_{1,2}in{1,2}$
Из монотонности и $x_1=frac{3}{2}$ следует $lneq 1$.
Получаем: $l=2$

$lim_{ntoinfty}x_n=2$

(**) Как я "угадал" верхний предел для доказательства ограниченности в первой части?
- Сначала решил часть II, и выбрал подходящее значение.
Важно помнить: без части I, часть II не имеет сысла!! Потому доказательство нужно предоставлять именно в таком порядке и в полном объёме.