Question

Помогите пожалуйста
найдите наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции f(x)= $sqrt{13}$sinx+ $sqrt{23}$ cosx+3,3

Answer 1

Введём вспомогательный угол α. По основному тригонометрическому тождеству имеем: $sin^2 alpha +cos^2 alpha =1$ ⇒ $sqrt{sin^2 alpha +cos^2 alpha} =1$.
Заметим, что $sqrt{ sqrt{13}^2+ sqrt{23}^2 } = sqrt{13+23} = sqrt{36} =6$, а значит, $frac{sqrt{ sqrt{13}^2+ sqrt{23}^2 }}{6} =1 \ sqrt{ frac{sqrt{13}^2+ sqrt{23}^2 }{36} } =1$
$sqrt{ frac{ sqrt{13}^2 }{36} + frac{ sqrt{23}^2 }{36} } =1 \ sqrt{ (frac{ sqrt{13} }{6})^2 + (frac{ sqrt{23} }{6})^2 } =1$.

Сопоставляя полученное уравнение с $sqrt{sin^2 alpha +cos^2 alpha} =1$ имеем:
$sqrt{13}*sinx+ sqrt{23}cosx+3,3 = 6*( frac{ sqrt{13} }{6} sinx+ frac{ sqrt{23} }{6}cosx )+3,3= \ =6*(sin alpha sinx+cos alpha cosx)+3,3$

Воспользуемся формулой cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ:
$6cos( alpha -x)+3.3$

Т.к. -1<=cos(α-x)<=1, легко заметить, что функция принимает максимальное значение при cos(α-x)=1, а именно:
$6*1+3,3=9,3$

Т.е. 9,3 - наибольшее целое число, принадлежащее области значений данной функции.