Question

9. В теннисном турнире принимали участие 6 мальчиков и несколько девочек. Каж-
дые два участника сыграли между собой две партии. Мальчики выиграли в два раза
больше партий, чем девочки. Какое из приведенных количеств партий не могли вы-
играть девочки у ребят, если ничьих не было?2
А. 10. Б. 14. В. 18. Г. 22.

Answer 1

Предположим, что в турнире участвовало x девочек.
Всего участников турнира получается (6+x)
Количество проведенных матчей на турнире
всего: $(6+x)(5+x)=x^2+11x+30$
мальчики с мальчиками: $6*5=30$
девочки с девочками: $x(x-1)=x^2-x$

Тогда игр мальчиков с девочками:
$(x^2+11x+30)-(30)-(x^2-x)=12x$

Девочки выиграли ровно треть всех игр, т.е.
$frac{x^2+11x+30}{3}$,
но в играх девочка-девочка - они сколько выиграли - столько и проиграли, ровно по $x^2-x$.
Таким образом, игр, которые девочки выиграли у мальчиков, будет:
$N=frac{x^2+11x+30}{3}-(x^2-x)$

Отсюда получаем уравнение:
$x^2-7x+(1.5N-15)=0$
Данное уравнение имеет решения при дискриминанте большем нуля:
$D=49 - 4(1.5N-15)=109-6N$

Вполне очевидно, что при N=22 дискриминант отрицателен, и решения нет,

При N=10 x=7 (при участии 7 девочек они могли выиграть у мальчиков 10 раз)
решение x=0 не подходит, т.к. в этом случае девочки вообще не могли что-либо выиграть.

при N=14 x=6 (в этом случае решением является еще и x=1, но такое решение не подходит в силу того, что один участник играл всего 12 игр и она не могла выиграть 14 раз).

при N=18 $x_1=3;x_2=4;$ (при участии 3 или 4 девочек они могли выиграть 18 раз)

Ответ: Г. 22 раза выиграть у мальчиков девочки не могли.