Question

провести полное исследование и построить графики функций y=2x^3+3x^2-12x+7

Answer 1

$y=2x^3+3x^2-12x+7$

1. Область определения и область значений

$mathbb{D}(f)=mathbb{R}; mathbb{E}(f)=mathbb{R}$

2. Четность

$f(-x)=2(-x)^3+3(-x)^2-12(-x)+7=-2x^3+3x^2+12x+7\ f(-x) neq -f(x); f(-x) neq f(x)$

Функция не является ни четной, ни нечетной

3. Так как функция непрерывна на $mathbb{R}$, то вертикальных асимптот нет.

$k= lim_{n to pm infty} frac{f(x)}{x}= frac{2x^3+3x^2-12x+7}{x}= \\lim_{n to pm infty} frac{2(pm infty)^3+3(pm infty)^2-12(pm infty)+7}{pm infty}=infty$
Наклонных асимптот нет

Необходимо выяснить, как ведет себя функция на бесконечности:

$lim_{n to pm infty} f(x)=lim_{n to pm infty} (2x^3+3x^2-12x+7)=pm infty$

Если идем вправо, то график уходит далеко вверх, если идем влево, то график уходит далеко вниз

4. Нули функции и интервалы

С осью ординат:

$y=f(0)=2cdot 0^3+3cdot0^2-12 cdot0+7=7$

C осью абсцисс:

$2x^3+3x^2-12x+7=0\ (x-1)(2x^2+5x-7)=0\\ x-1=0\ x=1\\ 2x^2+5x+7=0\ D=25+56=81; sqrt{D}=9\ x_{1/2}=frac{-5pm9}{4}\ x_1=1\ x_2=- frac{7}{2}$

$(-infty; - frac{7}{2})$ - ниже оси ОХ
$(- frac{7}{2};1) cup (1; +infty)$ - выше оси ОХ

5. Возрастание и убывание функции, экстремумы

$f'(x)=(2x^3+3x^2-12x+7)'=6x^2+6x-12\\ 6x^2+6x-12=0\x^2+x-2=0\ D=1+8=9; sqrt{D}=3\\ x_{1/2}= frac{-1pm 3}{2}\ x_1=-2\x_2=1$

$(-infty; 0) cup (1; +infty)$ - возрастает
$(-2;1)$ - убывает

Подставляем значения в функцию, чтобы определить точки максимума-минимума

$2(-2)^3+3^(-2)^2-12(-2)+7=27 A(-2; 27)\ 2 cdot (1)^3+3 cdot 1^2-12 cdot 1+7=0 B(1;0)$

В точке А - максимум, в точке В - минимум

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

$f''(x)=(6x+6x-12)'=12x+6\\ 12x+6=0\2x=-1\x=- frac{1}{2}$

$(-infty; - frac{1}{2})$ - выпуклость
$(- frac{1}{2}; +infty)$ - вогнутость

Подставляем в функцию:

$2cdot (-frac{1}{2})^3+3(- frac{1}{2})^2-12(- frac{1}{2})+7= frac{27}{2}=13,5 C( -frac{1}{2}; 13,5)$

Точка С - точка перегиба


7. График прилагается