Question

В матрице размером (19,5) 2 элементa равны единице, а все остальные равны 0. Ненулевые элементы расположены так, что в каждой строке и каждом столбце не более одного ненулевого элемента.
Чему равен ранг матрицы?

Answer 1

Пусть $r_i$ строка $i$ данной матрицы, содержащая ненулевой элемент, и пусть $1=a_{i,k}$.
Нам дано: если $a_{i,k}=0$, то
1) остальные элементы в строке $r_i$ равны нулю,
2) элементы в столбце $v_k$равны нулю.

$r_i$ не может содержать больше одного ненулевого элемента, следовательно есть ещё одна строка $r_j$, содержащая второй ненулевой элемент.
Пусть $a_{j,l}=1$.
Из (2) следует, что $kneq l$ ($a_{i,k}$ и $a_{j,l}$ не находятся в одном столбце).

Предположение: $r_i$ и $r_j$ - линейно независимы (докажем это и получим ранг не меньше двух)
Доказательство:
Предположим, что зависимы. Тогда существует такой скаляр $lambda$, что $r_i=lambda r_j$, в частности: $left { {{a_{i,k}=lambda a_{j,k} atop {a_{i,l}=lambda a_{j,l}}} right. Rightarrow left { {{1=lambda cdot0} atop {0=lambdacdot1}} right.$
Получили противоречие (нет такого скаляра, который выполнит систему), значит $r_i$ и $r_j$ - линейно независимы.
Отсюда: $rank(A)geq2$

Ненулевых элементов матрицы всего два, потому остальные строки матрицы содержат только нули. Отсюда $rank(A)leq2$.

Итого: $rank(A)=2$. Других вариантов для матрицы $A$ нет.