Question

принадлежат ли точки А(-1,7,2),В(0,0,0),С(3,2,1),D(0,-1,3) одной плоскости?

Answer 1

Чтобы определить, принадлежат ли указанные точки одной плоскости, надо составить уравнение плоскости по трем любым из данных нам точек (так как через три точки всегда можно провести плоскость, и при том только одну), а затем в это уравнение подставить координаты четвертой точки.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:

|x - xA xB - xA  xC - xA|
|y - yA yB - yA  yC - yA| = 0.
|z - zA zB - zA  zC - zA|

Подставим данные трех наших точек:
|x+1 0+1 3-1|                |x+1  1  2|
|y-7  0-7  2-7| = 0.  Или  |y-7 -7 -5| = 0.
|z-2  0-2  1-2|                |z-2 -2 -1|
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
         |-7 -5|           | 1  2|          | 1  2|
(х+1)*|-2 -1| - (y-7)*|-2 -1| +(z-2)*|-7 -5| =0.

(х+1)(7-10)-(y-7)(-1+4)+(z-2)(-5+14)=0. Раскроем скобки и упростим:
-3(х+1)-3(y-7)+9(z-2)=0.
-3x-3-3y+21+9z-18=0.
 3x+3y-9z=0  Получили искомое уравнение. Для проверки подставим в уравнение координаты трех наших точек.
Проверка для точки А: -3+21-18=0. Для точки В: 0+0+0=0. для точки C: 9+6-9=0.
Итак, уравнение плоскости верное.
Проверим, принадлежит ли точка D этой плоскости. 0-3-27=-30.
Точка D плоскости НЕ принадлежит.
Ответ данные нам точки НЕ принадлежат одной плоскости.

Answer 2

Ты че