Question

Задайте формулой квадратичную функцию, если: а) её график проходит через точки А(0;-2) и В(-2;4) и функция принимает значение -4 в единственной точке б) её значения при х=-1 и при х=2 совпадают, её наибольшее значение равно 3, а график содержит точку Р(1;1)

Answer 1

а)
Ищем функцию вида $y=ax^2+bx+c$
Подставляем координаты точки (0; -2):
$-2=acdot0^2+bcdot0+c \ c=-2$
Тогда функция принимает вид $y=ax^2+bx-2$
Подставляем координаты точки (-2; 4)^
$4=acdot(-2)^2+bcdot(-2)-2 \ 4a-2b-2=4 \ 4a-2b=6 \ 2a-b=3 \ b=2a-3$
Зная, что значение -4 принимается в единственной точке, можно потребовать чтобы уравнение  $ax^2+bx-2=-4$ имело ровно один корень, то есть равный нулю дискриминант:
$ax^2+bx-2=-4 \ ax^2+bx+2=0 \ D=b^2-4cdot2cdot a=b^2-8a=0$
Ранее мы получили, что b=2a-3:
$(2a-3)^2-8a=0 \ 4a^2-12a+9-8a=0 \ 4a^2-20a+9=0 \ D_1=(-10)^2-4cdot9=64 \ a_1= frac{10+8}{4} =4.5 Rightarrow b_2=2cdot4.5-3=6 \ a_2= frac{10-8}{4} =0.5 Rightarrow b_2=2cdot0.5-3=-2$
Полученные функции:
$y_1=4.5x^2+6x-2 \ y_2=0.5x^2-2x-2$

б)
Ищем функцию вида $y=ax^2+bx+c$
Так как у(-1)=у(2), то:
$acdot(-1)^2+bcdot(-1)+c=acdot2^2+bcdot2+c \ a-b=4a+2b \ 3a=-3b \ a=-b$
Подставляем координаты точки (1; 1)^
$1=acdot1^2+bcdot1+c \ a+b+c=1$
Так как а=-b, то:
$-b+b+c=1 \ c=1$
Тогда функция принимает вид $y=ax^2+bx+1$
Зная максимальное значение то что максимальное значение достигается в единственной точке - вершине параболы, составляем уравнение и требуем, чтобы оно имело ровно один корень:
$ax^2+bx+1=3 \ ax^2+bx-2=0 \ D=b^2-4cdot(-2)cdot a=b^2+8a=0$
Зная, что а=-b, получим:
 $b^2-8b=0 \ b(b-8)=0 \ b_1=0 Rightarrow a_1=0 \ b_2=8 Rightarrow a_2=-8$
Если а=0, то функция не квадратичная, этот вариант не берем в ответ.
Полученная функция: $y=-8x^2+8x+1$