Question

Дождевая капля радиусом R падает с высоты h. При падении капля пролетает через заряженное облако и приобретает потенциал φ0. Под действием сил кулоновского отталкивания капля разделяется на две одинаковые части, относительные скорости которых направлены горизонтально. Какую максимальную скорость может приобрести каждая из капелек в момент достижения поверхности Земли? Сопротивлением воздуха и электростатическим взаимодействием капелек с поверхностью Земли и с заряженным облаком, а также поверхностным натяжением воды можно пренебречь. Плотность воды ρ. Электрическая постоянная ε0, ускорение свободного падения g.

Answer 1

Клевая задача. Максимальная скорость будет в итоге складываться из вертикальной и горизонтальной компонент:
$v= sqrt{v_y^2+v_x^2}$

Поскольку падение происходит в гравитационном поле, то вертикальная компонента не связана с параметрами капли и зависит только от высоты падения и напряженности поля (ускорения свободного падения), так что с ней все ясно:
$mgh=frac{m}{2}v_y^2 = textgreater v_y^2=2gh$

Горизонтальная же компонента зависит от силы расталкивания двух частей одной капли. Скорость, приобретенная половинками исходной капли, полностью определит их кинетическую энергию. А по закону сохранения энергии, вся запасенная электростатическая энергия капли разделится между двумя капельками: частично станет их электростатической энергией и частично перейдет в кинетическую (по горизонтальной составляющей скорости). А значит, нам надо найти разность начальной и конечной электростатической энергии. Вот и все.

Начальная энергия капли равна $E_0=4piepsilon_0 Rfrac{phi_0^2}{2}$

После разделения капли на две одинаковые их объемчики будут равны половине объема исходной капли, а отсюда находим их радиусы $r$:
$frac{4}{3}pi R^3=2cdot frac{4}{3}pi r^3$
$r=frac{R}{ sqrt[3]{2} }$

Энергия распределится поровну, поэтому суммарная электростатическая энергия двух новых капель составит:
$E=E_1+E_2=4piepsilon_0 rfrac{phi^2}{2}+4piepsilon_0 rfrac{phi^2}{2}=4piepsilon_0 rphi^2$

Потенциал маленькой капли зависит от ее заряда и радиуса. Как изменился радиус мы уже знаем, а вот заряд после разделения распределился пополам - части ведь одинаковые. Поэтому
$phi=frac{1}{2}frac{R}{r}phi_0= frac{ sqrt[3]{2} }{2} phi_0$

Таким образом, кинетическая энергия, связанная с горизонтальной компонентой скорости, равна
$E_k=frac{m}{2}v_x^2=E_0-E=4piepsilon_0 Rfrac{phi_0^2}{2}-4piepsilon_0 rphi^2=4piepsilon_0(Rfrac{phi_0^2}{2}-frac{R}{ sqrt[3]{2} }frac{ (sqrt[3]{2})^2 }{4}phi_0^2)$

$E_0-E=4piepsilon_0phi_0^2R(frac{1}{2}-frac{sqrt[3]{2}}{4})$

$m=rho V=rho frac{4}{3}pi R^3$ - суммарная масса двух частей, разумеется равна массе исходной капли.

Отсюда
$v_x^2=frac{2}{rho frac{4}{3}pi R^3}4piepsilon_0phi_0^2R(frac{1}{2}-frac{sqrt[3]{2}}{4})=frac{6}{rho R^2}epsilon_0phi_0^2(frac{1}{2}-frac{sqrt[3]{2}}{4})$

$v_x^2=frac{3epsilon_0phi_0^2}{rho R^2}(1-frac{sqrt[3]{2}}{2})$

Окончательно,
$v= sqrt{v_y^2+v_x^2} = sqrt{2gh+frac{3epsilon_0phi_0^2}{rho R^2}(1-frac{sqrt[3]{2}}{2})}$