Question

cosx*cos2x*cos4x=1 Сколько корней на отрезке [-2п;2п] имеет данное уравнение?

Answer 1

1) cosx cos2x cos4x = 1

½ cosx (cosx + cos3x) = 1

½ cos²x + ½ cos3x cosx = 1

cos²x + cos3x cosx = 2

cos²x + ½ (cosx +cos2x) = 2

cos²x + ½ cosx + ½ (cos²x - sin²x) = 2

2cos²x + cosx + cos²x - (1 - cos²x) = 4

4cos²x + cosx - 5 = 0

 

Замена: cosx = a, a ∈ [-1;1]

4a² + a - 5 = 0

D = 1 + 80 = 81

a₁ = 1

a₂ = - 5/4  - не подходит

 

Обратная замена: 

cosx = 1

x = 2πn, n∈Z

 

2) На отрезке [-2π;2π] ур-ние имеет 3 корня:

x₁ = - 2πn при n = -1

x₂ = 0 при n = 0

x₃ = 2πn, n = 1

 

Ответ: 3 корня.