Question

диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол А с плоскостью боковой грани и угол В с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда,если его высота равна h.

Answer 1

Посмотри на чертеже DB - проекция диагонали на плоскость основания, угол D₁BD=β, a BC₁ - проекция диагонали на плоскость боковой грани, угол D₁BC₁=α, D₁D=AA₁=h.

Рассмотрим ΔD₁BD:

D₁D/BD=tgβ, следовательно

h/BD=tgβ,

BD=h/tgβ,

D₁B=DD₁/sinβ=h/sinβ.

Пусть х=АВ, у=АD, тогда из ΔАВD получим: х²+у²=BD²=h²/tg²β, а из ΔD₁BC₁: D₁C₁=D₁Bsinα

x=h/sinβ*sinα=h*sinα/sinβ

y²=√h²(1/tg²β-sin²α/sin²β)=h√cos²β/sin²β-sin²α/sin²β=h/sinβ*√cos²β-sin²α.

 

V=x*y*h=h*sinα/sinβ*h/sinβ*√cos²β-sin²α*h=h³sinα√cos²β-sin²α/sin²β (ответом будет дробь)