Question

1) Найти производные:
1. y=cos x ; y=tg x.
2. f(x)= 2x^2+tg x ; f(x)= 4cos x+3
2) Найти значение производной f(x) =x^3 в точке с абциссой x0=1.
3) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённый к графику функции f(x)=3x^3+2x-5 в его точке с абциссой х0=2.
4) Найдите промежутки возрастания функции f(x)=-3x^2-36x.

Answer 1

1. y=cos x ; y=tg x.

Решение:
           y'=(cos x)' = -sinx;
           y'=(tg x)'=$frac{1}{cos^2x}$.

Ответ: -sinx; $frac{1}{cos^2x}$

 2. f(x)= 2x²+tg x ; f(x)= 4cos x+3

Решение:
         f'(x)= (2x²+tg x)' =  (2x²)'+(tg x)' =4x+ $frac{1}{cos^2x}$

         f'(x)= (4cos x+3)' = (4cos x)' +(3)' = -4sinx+0 =-4sinx
Ответ: 4x+ $frac{1}{cos^2x}$; -4sinx

2) Найти значение производной f(x) =x³ в точке с абциссой x0=1.

Решение:

f'(x) =(x³)' =3x²

при х=1
 
f'(1) =3*1² =3

Ответ: 3

3) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённый к графику функции f(x)=3x³+2x-5 в его точке с абциссой х0=2.

Решение:
 Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке хо
равен производной функции в точке хо.
Найдем производную.
f'(x)=(3x³+2x-5)'=(3x³)'+(2x)'-(5)' =3*3x² +2-0 =9x²+2
Найдем значение производной в точке хо
f'(2) = 9*2²+2 =36+2=38

Ответ: 38

4) Найдите промежутки возрастания функции f(x)=-3x²-36x.

Решение:
Найдем производную функции

f'(x)=(-3x²-36x)' =(-3x²)'-(36x)' =-3*2x - 36 =-6x-36

Найдем критические точки приравняв производную к нулю
                    
       f'(x)=0     
 -6x-36 =0
  6x=-36
   x=-6
На числовой прямой отобразим эту точку и определим знаки производной по методу подстановки. Например при х=0 f'(0) =-36<0
   +         0      -
-----------!-----------
             -6

Функция возрастает на промежутке (-∞;-6) так как производная больше нуля


Иначе можно определить интервал возрастания сразу решив неравенство
       f'(x)>0
  -6x-36>0
   6x+36<0
   6x<-36
     x<-6
Ответ: (-∞;-6)