Question

Срочно! 25балов
n(в кубе)+5n
Доказать что делится на 6

Answer 1

n по делимости на 3 может быть трех видов:
$n=3k \\ n=3k+1 \\ n=3k+2 \\ k in Z$
во всех случаях

1.
$(3k)^3+5*3k=27k^3+15k=3k(9k^2+5)$
если k - четное, то 3k делится на 6, если k - нечетное, то $(9k^2+5)$ делится на 2, и значит все произведение делится на 6.

2.
$(3k+1)^3+5*(3k+1)= \\ =27k^3+27k^2+9k+1+15k+5= \\ =27k^3+27k^2+24k+6= \\ =3k(9k^2+9k+8)+6$
если k - четное, то 3k делится на 6, если k - нечетное, то $(9k^2+9k+8)$ делится на 2, и значит все произведение делится на 6, ну и сумма тоже.

3.
$(3k+2)^3+5*(3k+2)= \\ =27k^3+54k^2+36k+8+15k+10= \\ =27k^3+54k^2+51k+18= \\ =3k(9k^2+18k+17)+18$
если k - четное, то 3k делится на 6, если k - нечетное, то $(9k^2+18k+17)$ делится на 2, и значит все произведение делится на 6, ну и сумма тоже.

$n^3+5n$ делится на 6 во всех случаях, что и требовалось доказать.