Question

спортсмен разбегается с максимальным ускорением и делает прыжок в длину. Как велика оказалась длина прыжка, если высота взлета спортсмена h? Коэффициент трения принять равным μ, время действия силы трения при разбеге считать равным τ, сопротивлением воздуха пренебречь. [2μτ√{2gh}]

Answer 1

1) Разберёмся для начала с "максимальным ускорением". Как разгоняется спортсмен? Он опирается на поверхность ногой и толкает себя вперёд с некоторой силой F. Посмотрим, какие силы действуют на опорную ногу в точке соприкосновения с поверхностью.

Человек толкает себя вперёд с силой F, тогда по третьему закону Ньютона на ногу действует сила F в противоположном направлении, т.е. назад. Также существует сила трения Fтр, направленная вперёд. Записываем второй закон Ньютона:
$ma=F-F+F_{TP}=F_{TP}$

Максимальная сила трения равна $F_{TP}^{max}=mu mg$, поэтому максимальное ускорение, которое можно получить, есть
$a=mu g$

2) Теперь поговорим о том, что же происходит в задаче. Спортсмен разгоняется с ускорением a (в течение времени τ), в момент отрыва от земли добавляется вертикальная составляющая скорости (горизонтальная остается той же), спортсмен летит по параболе и, наконец, приземляется.
Горизонтальная компонента скорости не меняется и остается равной Vx = μgτ, тогда длина прыжка будет равна Vx * T, где T - время прыжка. Остается найти T.

3) Итак, задача превратилась в стандартную: с некоторой скоростью подбросили вверх нечто (нечто = спортсмен в данном случае), это нечто достигло высоты h и упало обратно. Необходимо найти время полёта T.
Задача решается, например, так: понятно, что искомое время - удвоенное время падения t с высоты h (время подлёта к верхней точки такое же, что и время спуска, а время спуска найти проще). t найдем из равенства
$h=dfrac{gt^2}2\ t=sqrt{dfrac{2h}g}$
Отсюда $T=2t=2sqrt{dfrac{2h}g}$

4) Остается получить ответ.
$L = V_xcdot T=mu gtaucdot 2sqrt{dfrac{2h}g}=2mutausqrt{2gh}$