Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 13 cos2x- 13sin2x+ 1

Answer 1

Используем формулу сложения синуса и косинуса одного угла:
$a*costheta+b*sintheta = sqrt{a^2+b^2}*sin(theta+alpha)$

Тогда твоё уравнение примет вид:
$y= 13*cos2x-13*sin2x+1 =sqrt{13^2+13^2}*sin(2x+alpha)+1$
$=13sqrt{2}*sin(2x+alpha)+1$
Где $alpha$ - это некоторый угол, не зависящий от x.
Далее заметим, что sin(t) всегда больше или равен -1 и меньше или равен 1, если t может пробежать всю окружность от -2pi до 2pi. Так как $alpha$ не зависит от x, то $2x+alpha$ будет пробегать все числа на тригонометрической окружности и следовательно $sin(2x+alpha)$ всегда больше или равен -1 и меньше или равен 1.
В общем имеем следующее:
$-1leq sin(2x+alpha) leq 1$ =>
$-13sqrt{2}+1 leq 13sqrt{2}*sin(2x+alpha)+1 leq 13sqrt{2}+1$
$-13sqrt{2}+1 leq y leq 13sqrt{2}+1$
То есть наибольшее и наименьшие значения:
$-13sqrt{2}+1$,  $13sqrt{2}+1$