Question

Знайти координати вектора АМ якщо вектор АМ- медіана трикутника АВС я укому А (2;1;3) В (2;1;5) С (0;1;1)
При яких значеннях m і n вектори АВ і CD колінеарні, якщо A(1; 0; 2), B(3; n; 5), C(2; 2; 0), D(5; 4; m)? Будь ласка терміново!!!!

Answer 1

1) Находим координаты точки М как середины отрезка ВС:
М = ((2+0)/2=1; (1+1)/2=1; (5+1)/2=3) = (1; 1; 3).
По координатам точек А и М находим уравнение прямой:
$frac{x-2}{1-2}= frac{y-1}{1-1} = frac{z-3}{3-3} .$
$frac{x-2}{-1}= frac{y-1}{0} = frac{z-3}{0} .$
Отсюда получаем координаты вектора АМ:
АМ = (-1; 0; 0)

2) Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
Находим координаты векторов:
$AB= frac{x-1}{3-1}= frac{y-0}{n-0} = frac{z-2}{5-2}$
$AB= frac{x-1}{2} = frac{y}{n} = frac{z-2}{3}$
Отсюда вектор $AB=(2;n;3)$
$CD= frac{x-2}{5-2}= frac{y-2}{4-2}= frac{z-0}{m-0}$
$CD= frac{x-2}{3} =frac{y-2}{2}= frac{z}{m}$
Отсюда вектор $CD=(3;2;m)$.
Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности:
ax/.bx = ay/by = az/bz.
Значит:2/3 = n/2 = 3/m
Из этого соотношения получим два уравнения:
2/3 = n/2
2/3 = 3/m
Решим эти уравнения:n = 2 *2/3 = 4/3.
m = 3 *3 / 2 = 9/2= 4,5
Ответ: вектор a и b коллинеарны при n = 4/3 и m = 4,5.