Question

Умоляю помогите с тригонометрией
Срочно

Answer 1

№ 1.
$frac{4ctgx}{1+ctg^{2}x}+sin^{2}2x+1=0$
$frac{4cosx}{sinx(1+ frac{cos^{2}x}{sin^{2}x})}+4sin^{2}x*cos^{2}x+1=0$
$frac{4cosx}{sinx(frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x})}+4sin^{2}x*cos^{2}x+1=0$
$4cosx*sinx+4sin^{2}x*cos^{2}x+1=0$

Замена: sinx*cosx=t

$4t^{2}+4t+1=(2t+1)^{2}=0$
$t=-0.5$

Вернемся к замене:
$sinx*cosx=-0.5$
$2*0.5*sinx*cosx=-0.5$
$2sinx*cosx=-1$
$sin2x=-1$
$2x=-frac{ pi }{2}+2 pi k$, k∈Z
$x=-frac{ pi }{4}+ pi k$, k∈Z

№ 2.
$cos4x+2cos^{2}x-1=0$
$2cos^{2}x-1+2cos^{2}x-1=0$
$4cos^{2}x-2=0$
$2cos^{2}x=1$
$cos^{2}x=0.5$
a) $cosx= frac{ sqrt{2}}{2}$
$x=+- frac{ pi }{4}+2 pi k$, k∈Z
b) $cosx=- frac{ sqrt{2}}{2}$
$x=+- frac{3 pi }{4}+2 pi k$, k∈Z

Объединим решения в одно:
$x= frac{ pi }{4}+frac{ pi k}{2}$, k∈Z

№ 3.
$4sinx+cosx=4$
$4*2sin frac{x}{2}*cosxfrac{x}{2}+cos^{2}frac{x}{2}-sin^{2}frac{x}{2}=4sin^{2}frac{x}{2}+4cos^{2}frac{x}{2}$
$8sin frac{x}{2}*cosxfrac{x}{2}-3cos^{2}frac{x}{2}-5sin^{2}frac{x}{2}=0$
$8tgfrac{x}{2}-3-5tg^{2}frac{x}{2}=0$
$5tg^{2}frac{x}{2}-8tgfrac{x}{2}+3=0$

Замена: tg(x/2)=t

$5t^{2}-8t+3=0, D=64-4*3*5=4$
$t_{1}= frac{8-2}{10}=frac{3}{5}=0.6$
$t_{2}= frac{8+2}{10}=1$

Вернемся к замене:
a) $tg frac{x}{2}=0.6$
$frac{x}{2}=arctg(0.6)+ pi k$, k∈Z
$x=2arctg(0.6)+2 pi k$, k∈Z
b) $tgfrac{x}{2}=1$
$frac{x}{2}=frac{ pi }{4}+ pi k$, k∈Z
$x=frac{ pi }{2}+ 2pi k$, k∈Z