Question

Докажите равенство: 2 sin 1° · 2 sin 2° · 2 sin 3° · . . . · 2 sin 179° = 180.

Answer 1

Вот что удалось получить
$2sin 1*2sin 2*2sin 3*...*2sin 177*2sin 178*2sin 179 =$
$= (2sin 1*2sin 179)*...*(2sin 89*2sin 91)*2sin 90 = A$
Всего получилось 89 пар и еще 2sin 90 = 2*1 = 2.
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле:
sin(180 - a) = sin a
$2sin1*2sin179=4sin1*sin(180-1)=4sin1*sin1=4sin^2(1)$
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(1)*4sin^2(2)*...*4sin^2(89)*2=
= 16(sin 1*sin 89)^2*16(sin 2*sin 88)^2*...*16(sin 44*sin 46)*4sin^2(45)*2 = A
Всего получилось 44 пары и 4sin^2(45) = 4*(1/√2)^2 = 4*1/2 = 2
В каждой скобке раскрываем произведение по формуле
sin(90 - a) = cos a
$16(sin 1*sin89)^2=4*4(sin1*cos1)^2=4(2sin1*cos1)^2=4sin^2(2)$
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(2)*4sin^2(4)*...*4sin^2(88)*4 = 
=16(sin 2*sin 88)^2*16(sin 4*sin 86)^2*...*16(sin 44*sin 46)^2*4 = A
Получилось 22 пары и число 4. Каждую скобку раскрываем по той же формуле
$16(sin 2*sin88)^2=4*4(sin2*cos2)^2=4(2sin2*cos2)^2=4sin^2(4)$
Аналогично и остальные
A = 4sin^2(4)*4sin^2(8)*4sin^2(12)*4sin^2(16)*4sin^2(20)*4sin^2(24)*4sin^2(28)*
*4sin^2(32)*4sin^2(36)*4sin^2(40)*4sin^2(44)*4sin^2(48)*4sin^2(52)*4sin^2(56)*
*4sin^2(60)*4sin^2(64)*4sin^2(68)*4sin^2(72)*4sin^2(76)*4sin^2(80)*4sin^2(84)*
*4sin^2(88)*4 = ?
Что дальше делать, совершенно непонятно. Если складывать опять от краев к центру, то получится
4sin^2(4)*4sin^2(88) = 16(sin 4*sin 88)^2 = 16*[1/2(cos(88-4)-cos(88+4))]^2 =
= 16*1/4*(cos 84 - cos 92)^2 = 4(cos 84 - cos 92)^2
Но ничего хорошего из этого не получается.