Question

Помогите пожалуйста вычислите площадь плоской фигуры ограниченной графиками функций 1) у= х+1 и у=(х+1) в кубе 2) у=х в кубе и у=2х - х
в кубе

Answer 1

1) $x+1=(x+1)^{3}$
$(x+1)(1-(x+1)^{2})=0$
$x_{1}=-1$
$1-(x+1)^{2}=0$
$(x+1)^{2}=1$
$x+1=1$
$x_{2}=0$
$x+1=-1$
$x_{3}=-2$

$S_{1}= intlimits^{-1}_{-2} {((x+1)^{3}-(x+1))} , dx=intlimits^{-1}_{-2} {(x^{3}+3x^{2}+3x+1-x-1)} , dx=intlimits^{-1}_{-2} {(x^{3}+3x^{2}+2x)} , dx= frac{x^{4}}{4}+x^{3}+x^{2}|^{-1}_{-2}= frac{1}{4}-1+1-(4-8+4)=frac{1}{4}$

$S_{2}= intlimits^{0}_{-1} {(x+1-(x+1)^{3})} , dx=intlimits^{0}_{-1} {(x+1-(x^{3}+3x^{2}+3x+1)} , dx=intlimits^{0}_{-1} {(x+1-x^{3}-3x^{2}-3x-1)} , dx=intlimits^{0}_{-1} {(-2x-x^{3}-3x^{2})} , dx=-x^{2}- frac{x^{4}}{4}-x^{3}|^{0}_{-1}=$$-x^{2}- frac{x^{4}}{4}-x^{3}|^{0}_{-1}=0-(-1-frac{1}{4}+1)=frac{1}{4}$

$S=S_{1}+S_{2}=2*frac{1}{4}=frac{1}{2}=0.5$ - ответ

2) $x^{3}=2x-x^{3}$
$2x^{3}-2x=0$
$2x*(x^{2}-1)=0$
$x_{1}=0$
$x_{2}=1$
$x_{3}=-1$

$S=2* intlimits^{1}_{0} {(2x-x^{3}-x^{3})} , dx =2* intlimits^{1}_{0} {(2x-2x^{3})} , dx=4*( frac{x^{2}}{2}-frac{x^{4}}{4})|^{1}_{0}=$$4*( frac{x^{2}}{2}-frac{x^{4}}{4})|^{1}_{0}=4*(frac{1}{2}-frac{1}{4})=4*frac{1}{4}=1$ - ответ