Question

Взять интеграл от корня из 1-4x²

 

∫√(1-4x²)dx

Answer 1

$(1- 4x^2)^2/8$ + c

надеюсь что верно ..

Answer 2

Тут я так понимаю нужно методом подстановки.

Нужно сделать замену аргумента так, чтобы выражение упростилось

подставим вместо x=sint/2

$intsqrt{(1-4x^2)}dx\ x=frac{sint}{2}$

при этом обе части дифференцируются

$dx=frac{cost}{2}dt$

теперь подставляем все это: вместо x = sint/2, вместо dx = cost/2 dt

$intsqrt{(1-4x^2)}dx\ intsqrt{(1-4(frac{sint}{2})^2)} frac{cost}{2}dt=intsqrt{(1-sin^2t)}frac{cost}{2}dt=\ =intsqrt{cos^2t}frac{cost}{2}dt=int cost*frac{cost}{2}dt=int frac{cos^2t}{2} dt$

Теперь раскладываем cos^2x формулой понижения степени и тогда уже сможем проинтегрировать.

$int frac{cos^2t}{2} dt =int frac{frac{1}{2}(1+cos2t)}{2} dt =(frac{1}{4}+frac{cos2t}{4})dt=frac{t}{4}+frac{sin2t}{4*2}=frac{t}{4}+frac{sin2t}{8}$

Теперь вместо t надо подставить то, что мы заменяли

$x=frac{sint}{2}\ 2x=sint\ t=arcsin2x$

подставляем это в полученное нами выражение

$frac{t}{4}+frac{sin2t}{8}+C\ frac{arcsin2x}{4}+frac{sin2(arcsin2x)}{8}+C=frac{arcsin2x}{4}+frac{4xsqrt{4-x^2}}{8}+C=\= frac{arcsin2x}{4}+frac{xsqrt{4-x^2}}{2}+C$