Question

Помогите решить это задание:

Answer 1

Принцип действий: выносим старшую степень в числителе и знаменателе за скобки, сокращаем и решаем упрощённый предел.

Решение:
$frac{n}{sqrt{n^2-n}-n}=frac{n}{nsqrt{1-frac{1}{n}}-n}=frac{n}{n}cdotfrac{1}{sqrt{1-frac{1}{n}}-1}$

* для последовательностей этот момент роли не играет, больше для функций: здесь - $ntoinfty$, следовательно для достаточно большого $n_0inmathbb{N}$ выполняется $(forall n textgreater n_0 nneq0)$, потому можно сократить $frac{n}{n}$.
(почему неважно для последовательностей?)

Получили предел:
$lim_{ntoinfty}frac{1}{sqrt{1-frac{1}{n}}-1}$
Решаем:
$forall ninmathbb{N} 1-frac{1}{n} textless 1 Rightarrowlim_{ntoinfty}sqrt{1-frac{1}{n}}-1=0^-\ lim_{ntoinfty}frac{1}{sqrt{1-frac{1}{n}}-1}=-infty$