Question

Решите уравнение

arcsinx=arccos(корень(1-x))

Answer 1

ОДЗ [0,1]

f(x)=arcsinx-arccos(sqrt(1-x))

$f'(x)=dfrac1{sqrt{1-x^2}}-dfrac1{2sqrt{x-x^2}}=dfrac{2sqrt{x-x^2}-sqrt{1-x^2}}{dots}$

$f'(x)=dfrac{sqrt{1-x}(2sqrt{x}-sqrt{1+x})}{dots}$

$2sqrt{x}-sqrt{1+x}=0$

$4x=1+xLeftrightarrow x=1/3$

1/3 - точка минимума. На отрезке [0,1/3] f(x) строго! убывает, [1/3,1] - строго! возрастает.

Но т.к. f(0)=f(1)=0, то других корней, кроме 0 и 1, уравнение не имеет.

 

Ответ: 0, 1.