Question

Помогите пожалуйста решить буквы Ж; Г; Е

Answer 1

г).
Работаем над первым уравнением:
$4(frac{x-y}{x+y})+3(frac{x+y}{x-y})=13\ frac{4(x-y)^2+3(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=13\ 4(x-y)^2+3(x+y)^2=13(x^2-y^2) : xneqpm y\ 20y^2=6x^2+2xy$
Получили однородное уравнение, переводим в квадратное и находим связь $x~ y$
$6x^2+2xy-20y^2=0 |cdotfrac{1}{y^2}\ 6(frac{x}{y})^2+2(frac{x}{y})-20=0\ frac{x}{y}=:t\ 6t^2+2t-20=0\ t_{1,2}=frac{-1pmsqrt{1+120}}{6}\ t_1=frac{5}{3}, t_2=-2 Rightarrowfrac{x}{y}in{frac{5}{3},-2}$
Тут мы делили на $y^2$, следовательно - исключили возможность $y=0$. Этот случай нужно будет проверить отдельно.

Получили две связи:
$3x=5y, x=-2y$
Добавляем к каждой второе уравнение и получаем две простые системы уравнений:
$left { {{3x=5y} atop {x^2-y^2=12}} right. \ left { {{x=-2y} atop {x^2-y^2=12}} right.$
которые решить уже не проблема.

Теперь проверяем частный случай $y=0$:
$4frac{x-0}{x+0}+3frac{x+0}{x-0}=13\ 4+3=13\ emptyset$
Равенство не выполняется, значит $y=0$ не является решением системы.

е).
Решаем подстановкой:
$left { {{x^2+y^2=25}} atop {xy-(x+y)=5}} right. \ left { {{x^2+2xy+y^2=25+2xy}} atop {xy-(x+y)=5}} right. \ left { {{(x+y)^2=25+2xy} atop {xy-(x+y)=5}} right. \ a:=x+y, b:=xy\ left { {{a^2=25+2b} atop {b-a=5}} right.$
Решаем простую систему:
$left { {{a^2=25+2b} atop {b-a=5}} right. \ a^2=25+2(5+a)\ a^2-2a-15=0\ (a-5)(a+3)=0\ ain{-3,5}\ a=-3 Rightarrow b=2\ a=5 Rightarrow b=10$
Получили две простые системы:
$a=-3 Rightarrow b=2\ a=5 Rightarrow b=10\ left { {{x+y=-3} atop {xy=2}} right. , left { {{x+y=5} atop {xy=10}} right.$
Осталось только найти $x,y$, что нетрудно сделать.

ж).
Тот же принцип, что и в е).
Приводим к нужному виду второе уравнение:
$x^2+y^2=4xy\ x^2+2xy+y^2=6xy$
Назначаем новые переменные:
$a:=x+y, b:=xy$
Подставляем в систему и получаем:
$left { {{a=b} atop {a^2=6b}} right. \ a^2-6a=0\ a(a-6)=0\ ain{0,6}\ a=0 Rightarrow b=0\ a=6 Rightarrow b=6$
Получили две системы:
Oдна из них - тривиальна $(x=0,y=0)$
Вторая - $left { {{x+y=6} atop {xy=6}} right.$
Осталось только посчитать ответы.