Question

Доказать что при любых значениях x верно неравенство
(a-2) (a^2+a+4) меньше a^3

Answer 1

Преобразуем выражение:

$displaystyle (a-2)(a^2+a+4)<a^3\\a^3-2a^2+a^2-2a+4a-8<a^3\\-a^2+2a-8<0$

Рассмотрим функцию f(x)= -x²+2x-8

графиком данной функции будет парабола, ветви вниз

Найдем точки пересечения с осью Ох

-x²+2x-8=0\\D=4-4(-1)(-8)=4-32<0

Точек пересечения нет, значит график полностью лежит ниже ось Ох

Таким образом для любых значений а, данное выражение меньше 0

Answer 2

$(a-2)(a^2+a+4)<a^3\ a^3+a^2+4a-2a^2-2a-8<a^3\ -a^2+2a-8 <0\ \ -(a-1)^2-7<0$

Видим, что левая часть неравенства всегда отрицательно для всех действительных а.