Question

Доказать, что функция f(x) и g(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.
$f(x)= frac{3 x^{2} }{2+x} , g(x)= 7 x^{2}$
Помогите пожалуйста, очень прошу.

Answer 1

Сначала покажем, что данные функции являются бесконечно малыми:
$lim_{x to 0} f(x)=$$lim_{x to 0} frac{3x^2}{2+x} = lim_{x to 0} frac{3*0}{2+0}=0$
$lim_{x to 0} g(x)= lim_{x to 0} 7x^2= lim_{x to 0} 7*0=0$
Теперь найдем предел отношения данных функций:
$lim_{x to 0} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to 0} frac{3x^2}{(2+x)7x^2} = lim_{x to 0} frac{3}{14+7x} = frac{3}{14+7*0} = frac{3}{14}$
Мы видим, что предел равен конечному отличному от 0 числу, следовательно данные функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми одного порядка малости при $x to 0$