Question

почему по-домашнему пишется через е

Answer 1

Потому что надо задать вопрос. В данном случае здесь вопрос:
по какому?- по-домашнему
раз вопрос оканчивается на ому,то пишем е(ом,ем)

Answer 2

На мой взгляд, это проверить нельзя, потому что это окончание.