Question

Прямая y= -4x-9 является касательной к графику функции y=20x^2 bx-4, найти b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0

Answer 1

Прямая: y = -4x - 9. Функция f(x) = 20x^2 + bx - 4
Эти графики пересекаются только в одной точке касания.
Значит, приравняв правые части, получим уравнение
20x^2 + bx - 4 = -4x - 9
Которое должно иметь только один корень. То есть D = 0
20x^2 + x(b+4) + 5 = 0
D = (b + 4)^2 - 4*20*5 = b^2 + 8b + 16 - 400 = b^2 + 8b - 384 = 0
Решаем это квадратное уравнение
D = 8^2 - 4(-384) = 64 + 1536 = 1600 = 40^2
b1 = (-8 - 40)/2 = -24;
b2 = (-8 + 40)/2 = 16
Подставляем эти b в первое уравнение и находим x0. Должно быть x0 > 0.
1) b = -24
20x^2 - 20x + 5 = 0
4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 = 0
x0 = 1/2 > 0 - подходит
f(x0) = 20*1/4 - 24*1/2 - 4 = 5 - 12 - 4 = -13

2) b = 16
20x^2 + 20x + 5 = 0
4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 = 0
x0 = -1/2 - не подходит
Ответ: b = -24, точка касания A(1/2; -13)