Question

Вычислите следующий предел
limit[(sqrt(1 + 1/n) + sqrt(1 + 2/n) + sqrt(1 + 3/n) +.....+ sqrt(1 + n/n)) / n), n --> infinity]

Answer 1

Воспользуемся следующей формулой
$int_a^bf(x)dx = lim_{nrightarrowinfty}frac{b-a}{n}sum_{k=1}^nf(a+frac{k(b-a)}{n})$
Для нашего предела
$a=1;b=2;f(x)=sqrt x\int_1^2sqrt x dx = frac{2}{3}x^{frac{3}{2}}|_1^2=frac{2}{3}(2sqrt2-1)$