Question

найдите 11 натуральные числа меньших 20, таких что сумма всех этих чисел. так и их произведение являются степенями двойки.

Answer 1

Чтобы сумма была степенью двойки, 
сумма этих чисел в двоичном коде должна равняться единице.
Представим в двоичном коде все разряды до 16:
0(16)0(8)0(4)0(2)0(1)
Предлагаю получить сумму любых двух конструкций с единицей в любом из разрядов, чтобы сумма их перешла в разряд и давала степень двойки, а ещё нельзя использовать ничего кроме четных(исключая единицу)
чисел, иначе произведение не будет степенью двойки.
Достаточно сложить так, чтобы получилось две пары по 16, например.
$underbrace{2+ldots+2}_{mbox{8}}$
Использовали 8 натуральных чисел, осталось 3.
Ещё одну 16, можно составить, например так:
$8+4+4$ в точности до перестановки слагаемых.
Получаем $2*8+8+2*8 = 32 vdots 2^5$ 
8 = 2*2*2; 4 = 2*2
$underbrace{2*ldots*2}_{mbox{15}}$
$Q.E.D.$