Question

Дано число а=2^2015+3^2014. Найти последнюю цифру числа а и лстаток от деления а на 11

Answer 1

2^(4k)=16^k=10A+6                              3^(4k)= 81^k= 10E+1
2^(4k+1) = 10B+2                                 3^(4k+1) = 10F+ 3
2^(4k+2)=10C+4                                   3^(4k+2) = 10G + 9
2^(4k+3)=10D+8                                   3^(4k+3) = 10H + 7
2^2015 = 2^(4*503+3) = 10M+8              3^2014 = 3^(4*503+2) = 10N+ 9
             a=10M+8 + 10N+9 = 10K+7 :   т.е.  последняя  цифра  а  7.
2^2015+3^2014=2^(5*403)+3^(5*402+4)=32^403+3^4 * 243^402 = 
= (33 - 1)^403 + 81 * (242 +1)^402 = (11*3 - 1)^403 + 81*(11*22+1)^402 =
 = 11*Q - 1 + 81* (11R+1)= 11S +80 ,
             которое   при  делении 11  в  остатке  дает  3