Question

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая пересекающая стороны AD и BC в точках P иQ. Докажите что AP=CQ

Answer 1

1 шаг. Пусть О - центр п-мма. тогда О∈PQ. Докажем, что PO = OQ.
Рассмотрим ΔAOQ и COP. Очевидно, диагональ АС проходит через О. Тогда 
∠QAO=∠PCO(т.к. BC||AD и AC-секущая)
∠AOQ=∠COP(вертикальные)
AO=OC(т.к. О-центр п-мма, а AC-диагональ)
--------------------------------------
ΔAOQ=ΔCOP
2 шаг. Рассмотрим 4-уг. APCQ: диагонали пересекаются в точке О и
СО=ОА
PO=OQ(из равенства ΔAOQ и COP)
Значит APCQ - параллелограмм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит AP=QC(как противоположные стороны параллелограмма)