Question

Помогите логорифмы
логорифмы

Answer 1

$0,5log_{x-2}(x^2-10x+25)+log_{5-x}(-x^2+7x-10) geq 3$
Область определения логарифма
{ x - 2 > 0; x - 2 =/= 1
{ 5 - x > 0; 5 - x =/= 1
{ x^2 - 10x + 25 = (5 - x)^2 > 0
{ -x^2 + 7x - 10 = (5 - x)(x - 2) > 0
Отсюда получаем
{ 2 < x < 5
{ x =/= 3; x =/= 4
Область определения: x ∈ (2; 3) U (3; 4) U (4; 5)
Теперь решаем уравнение
$0,5log_{x-2}(5-x)^2+log_{5-x}((5-x)(x-2)) geq 3$
$log_{x-2}(5-x)+log_{5-x}(5-x)+log_{5-x}(x-2) geq 3$
Есть замечательная формула у логарифмов:
$log_a(b)= frac{log_c(b)}{log_c(a)}$
Причем новое основание с может быть любым числом больше 0, кроме 1.
Например, с = 10. Подставляем
$frac{lg(5-x)}{lg(x-2)}+1+ frac{lg(x-2)}{lg(5-x)} geq 3$
Замена $frac{lg(5-x)}{lg(x-2)}=t$
$t + frac{1}{t} geq 2$
Это верно для любого t > 0
$frac{lg(5-x)}{lg(x-2)} textgreater 0$
Если дробь больше 0, то у числителя и знаменателя одинаковые знаки.
Получаем две системы
1)
{ lg(5 - x) < 0
{ lg(x - 2) < 0
Отсюда
{ 5 - x < 1
{ x - 2 < 1
То есть
{ x > 4
{ x < 3
Решений нет
2)
 { lg(5 - x) > 0
{ lg(x - 2) > 0
Отсюда
{ 5 - x > 1
{ x - 2 > 1
То есть
{ x < 4
{ x > 3
Ответ: x ∈ (3; 4)