Question

a)cos15cos75
b)(cos pi/8+sin pi/8)x(cos^3 pi/8-sin^3 pi/8)

Докажите тождество
1+tga tg2a=1/cos2a

Помогите пожалуйста!

Answer 1

а) cos15 cos75 = cos15  cos(90-15) = cos15 sin15 = 2sin15 cos15 =
                                                                                          2
= sin(2*15) = sin30 =  1   = 1/4
        2             2         2*2

б) (cos(π/8) + sin(π/8)) (cos³(π/8) - sin³(π/8)) =
 =(cos(π/8) + sin(π/8))(cos(π/8) - sin(π/8))(cos²(π/8)+cos(π/8) *sin(π/8)+sin²(π/8))= =(cos²(π/8) - sin²(π/8)) (1 + 2sin(π/8) cos(π/8)) =
                                                                                     2
= cos(2 * (π/8)) * (1 + sin(2 * (π/8))) =
                                         2
= cos(π/4) * (1  + sin(π/4)) =
                               2
= √2 ( 1 + √2 ) = √2 (4 + √2) = 4√2 + 2   = 2 (2√2 + 1) =  2√2 +1
     2          2*2     2          4         2*4             2*4                  4

в) 1+tgα tg2α =  1     
                       cos2α
1+tgα tg2α = 1 + sinα * sin2α =  1 + sinα * 2sinα cosα  =
                          cosα   cos2α          cosα       cos2α
= 1 + 2sin²α = cos2α + 2sin²α = cos²α - sin²α + 2sin²α =
          cos2α           cos2α                     cos2α
= cos²α + sin²α =   1    
         cos2α         cos2α
   
    1        =   1      
  cos2α      cos2α
Что и требовалось доказать.