Question

Задача на тему пределов.

Доказать, что Un = (корень кв.(n^2 + a^2)) / n при неограниченном возрастании n имеет предел 1.
Начиная с какого n величина |1 - Un| не превосходит данного положительного числа ε ?

----------------

Правильный ответ указан как n ≥ a / (корень кв.(ε(2 + e)))

----------------

Моё решение:
Un = (корень кв.(n^2 + a^2)) / n = (n^2 + a^2) / n^2 = 1 + a^2/n^2, где a^2/n^2 - бесконечно малая последовательность. поэтому lim Un , n->∞, = 1.
|1 - Un| ≤ ε
|1 - (1 + a^2/n^2)| ≤ ε
|-(a^2/n^2)| ≤ ε
a^2/n^2 ≤ ε
n^2 ≤ a^2/ε
n ≤ корень кв.(a^2/ε)
n ≤ (a * корень кв.(ε)) / ε

----------------

С ответом не сходится. Подскажите, может быть, я как-то не так решаю?

Answer 1

Вы потеряли корень в первом своем выражении: Un = (корень кв.(n^2 + a^2)) / n = (n^2 + a^2) / n^2 = 1 + a^2/n^2
На предел это не влияет - он будет 1 не зависимо от того, корень это или нет,
а вот для определения n это, конечно, важно.

Answer 2

Понял, спасибо. Будем думать дальше)