Question

Решить уравнение:
tgx-ctg((7pi)/6)=tg((7pi)/8) -√3×tg(pi/8)×tgx

Answer 1

Сначала найдем известные числа
ctg(7pi/6) = ctg(pi/6) = √3
$sin( frac{7pi}{8} ) = sin(pi - frac{pi}{8} ) = sin( frac{pi}{8} )= sqrt{ frac{1-cos(pi/4)}{2} } = sqrt{ frac{1- sqrt{2}/2 }{2} } = frac{ sqrt{2- sqrt{2} } }{2}$
$cos( frac{7pi}{8} )=cos(pi- frac{pi}{8} )=-cos( frac{pi}{8} )=-sqrt{ frac{1+cos(pi/4)}{2} } = -sqrt{ frac{1+ sqrt{2}/2 }{2} } =$
$= -frac{ sqrt{2+ sqrt{2} } }{2}$

$tg( frac{7pi}{8} )= frac{sin( frac{7pi}{8} )}{cos( frac{7pi}{8} )} = -frac{ sqrt{2- sqrt{2} } }{2}:frac{ sqrt{2+ sqrt{2} } }{2}= -sqrt{ frac{2- sqrt{2}}{2+ sqrt{2}} } = -sqrt{ frac{(2- sqrt{2})^2}{4-2} } =$
$=-frac{2- sqrt{2}}{ sqrt{2} }=1- sqrt{2}$


$tg( frac{pi}{8} )= frac{sin( frac{pi}{8} )}{cos( frac{pi}{8} )} = frac{ sqrt{2- sqrt{2} } }{2}:frac{ sqrt{2+ sqrt{2} } }{2}= sqrt{ frac{2- sqrt{2}}{2+ sqrt{2}} } = sqrt{ frac{(2- sqrt{2})^2}{4-2} } =$
$=frac{2- sqrt{2}}{ sqrt{2} }=sqrt{2} -1$

Подставляем
$tgx- sqrt{3}=1- sqrt{2} - sqrt{3}*( sqrt{2} -1) *tgx$
$tgx+ sqrt{3}( sqrt{2} -1)*tgx=1- sqrt{2}+ sqrt{3}$
$tgx*(1+ sqrt{6} - sqrt{3} )=1- sqrt{2}- sqrt{3}$
$tgx= frac{1- sqrt{2}- sqrt{3}}{1+ sqrt{6} - sqrt{3}} = frac{(1- sqrt{2}- sqrt{3})(1+ sqrt{6} + sqrt{3})}{(1+ sqrt{6})^2 - 3}=$
$=frac{1-sqrt{2}- sqrt{3}+ sqrt{6}-2 sqrt{3}-3 sqrt{2}+ sqrt{3}- sqrt{6} -3 }{1+2 sqrt{6}+6-3} = frac{-2-4 sqrt{2}-2 sqrt{3}}{4+2 sqrt{6} } =- frac{1+2 sqrt{2}- sqrt{3} }{2+ sqrt{6} }=$
$=- frac{(1+2 sqrt{2}- sqrt{3})(2- sqrt{6} ) }{4-6}= frac{2+4 sqrt{2}-2 sqrt{3}- sqrt{6} -4 sqrt{3}+3 sqrt{2}}{2} = frac{2+7 sqrt{2} -6 sqrt{3} - sqrt{6} }{2}$
$x=arctg(frac{2+7 sqrt{2} -6 sqrt{3} - sqrt{6} }{2})+ pi *k$
Если я ничего не напутал. Сложное решение получилось.

Answer 2

Эх, как раз напутал я! После слова Подставляем во 2 строчке справа 1-√2+√3, а в 3 строчке 1-√2-√3. Правильный ответ, если проделать все тоже самое: tg x = -(2+√2+√3+√6)