Question

найдите область определения выражения корень из x2 +16x+64/x2-49

Answer 1

$dfrac{sqrt{x^2+16x+64}}{x^2-49}=dfrac{sqrt{(x+8)^2}}{x^2-49}=dfrac{|x+8|}{(x-7)(x+7)}$

Выражение существует, когда знаменатель дроби не обращается к нулю

$(x-7)(x+7)ne 0\ x_1ne 7\ x_2ne -7$

Область определения выражения: $x in (-infty;-7)cup(-7;7)cup(7;+infty).$

Если в условии все выражение под корнем, то...

$sqrt{dfrac{x^2+16x+64}{x^2-49}}=sqrt{dfrac{(x+8)^2}{x^2-49}}=dfrac{|x+8|}{sqrt{x^2-49}}$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель дроби не обращается к нулю.

$displaystyle left { {{x^2-49geq0} atop {x^2-49ne 0}} right. ~~Rightarrow~~~ x^2-49>0~~Rightarrow~~ |x|>7~Rightarrow~left[begin{array}{ccc}x>7\ \ x<-7end{array}right$

При $x in (-infty;-7)cup (7;+infty)$ выражение имеет смысл