Question

заплачу все баллы, только прошу вас решите!!!
1. Вычислить производные функции:
Результаты представть в простой форме.

2. Определить экстрэмум функций и монотонности:

Answer 1

$(a)quad f(x)=3x^2sqrt[3]x-4x^3sqrt[4]x+4x^{-frac12}=3x^2x^{frac13}-4x^3x^{frac14}+4x^{-frac12}=\ =3x^{(2+frac13)}-4x^{(3+frac14)}+4x^{-frac12}=3x^{frac73}-4x^{frac{13}4}+4x^{-frac12}\ f'(x)=frac73cdot3x^{(frac73-1)}-frac{13}4cdot4x^{(frac{13}4-1)}-frac12cdot4x^{(-frac12-1)}=\ =7x^{frac43}-13x^{frac94}-2x^{-frac32}\ (b)quad s(t)=e^{2t}sin t\ s'(t)=left(e^{2t}right)'cdotsin t+e^{2t}cdot(sin t)'=2cdot e^{2t}sin t+e^{2t}cos t$

$(c)quad g(x)=(1+sqrt x)(1+sqrt{2x})^{-1}=frac{1+sqrt x}{1+sqrt{2x}}\ g'(x)=frac{(1+sqrt x)'(1+sqrt {2x})-(1+sqrt x)(1+sqrt {2x})'}{(1+sqrt{2x})^2}=frac{frac{1+sqrt{2x}}{sqrt x}-frac{2(1+sqrt x)}{sqrt{2x}}}{(1+sqrt{2x})^2}=\ =frac{frac{2+2sqrt{2x}-2-2sqrt x}{sqrt{2x}}}{(1+sqrt{2x})^2}=frac{sqrt x(sqrt{2}-1)}{sqrt2sqrt x(1+sqrt{2x})^2}=frac{sqrt{2}-1}{sqrt2(1+sqrt{2x})^2}=\ =(2^{frac12}-1)2^{-frac12}(1+sqrt{2x})^{-2}=(1-sqrt2)(1+sqrt{2x})^{-2}$

$(d)quad h(x)=x+sqrt{4-x^2}\ h'(x)=1-frac{2x}{2sqrt{4-x^2}}=1-frac{1}{sqrt{4-x^2}}=1-(4-x^2)^{-frac12}\ (e)quad w(x)=xsqrt{4-x^2}\ w'(x)=sqrt{4-x^2}-frac{xcdot2x}{2sqrt{4-x^2}}=(4-x^2)^{frac12}-x^2(4-x^2)^{-frac12}$

$2(a)quad f(x)=x^4-8x^2\ f'(x)=4x^3-16x\ 4x^3-16x=0\ 4x(x^2-4)=0\ 4x=0Rightarrow x=0\ x^2-4=0Rightarrow x=pm2\ xin(-infty,-2)Rightarrow f'(x)>0\ xin(-2,0)Rightarrow f'(x)<0\ xin(0,2)Rightarrow f'(x)<0\ xin(2,+infty)Rightarrow f'(x)>0$

В точке x=-2 производная меняет знак с + на -, значит в этой точке экстр.максимум.

В точке x=2  производная меняет знак с - на +, значит в этой точке экстр.минимум.

Функция монотонно возрастает на интервале, если её производная на этом интервале >0, убывает - если <0.

f(x) монотонно возрастает на $(-infty,-2)cup(2,+infty)$ и монотонно убывает на (-2,2).

$(b)quad g(x)=3x^4-4x^3+1\ g'(x)=12x^3-12x^2\ 12x^3-12x^2=0\ 12x^2(x-1)=0\ 12x^2=0Rightarrow x=0\ x-1=0Rightarrow x=1\ xin(-infty,0)Rightarrow g'(x)<0\ xin(0,1)Rightarrow g'(x)<0\ xin(1,+infty)Rightarrow g'(x)>0$

В точке x=1 производная меняет знак с - на +, значит в этой точке экстр.минимум.

g(x) монотонно возрастает на $(-infty,1)$, монотонно возрастает на $(1,+infty)$

$(c)quad h(x)=x^3-7x^2+15x-9\ h'(x)=3x^2-14x+15\ 3x^2-14x+15=0\ D=196-4cdot3cdot15=16=4^2\ x_1=6,quad x_2=3frac13\ xin(-infty,3frac13)Rightarrow h'(x)<0\ xin(3frac13,6)Rightarrow h'(x)<0\ xin(6,+infty)Rightarrow h'(x)>0$

В точке x=6 производная меняет знак с - на +, значит в этой точке экстр.минимум.

h(x) монотонно убывает на $(-infty,6)$, монотонно возрастает на $(6,+infty)$