Question

являются ли однокоренными слова каша и однокашники , ладушки и ладонь , дайте объяснение

Answer 1

В первом случае - да.
Во - втором нет.
Это объясняют семантические значения слов,
однокашники - закрепившийся в языке стилистически нейтральный вариант "одноклассников",скорее всего,укрепился от диалектизма.
С ладушками всё ясно,
ладушки - почти то же самое,что и ладонь,только применимо слово согласно с контекстом ввиду наличия уменьшительно-ласкательного суффикса и соответственно и семантическое значение его НЕМНОГО иное.