Question

Докажите, что сумма квадратов двух медиан прямоугольного треугольника, проведенных к катетам, равна 5/4 квадрата гипотенузы.

Answer 1

Пусть АВС - исходный треугольник, С - вершина прямого угла, а АЕ и ВD - медианы.

Пусть  ВС = а, АС = b.  Тогда по теореме Пифагора

ВD² = BC² + CD² = a² + (b/2)² = a² + b²/4

AE² = AC² + CE² = b² + (a/2)² = b² + a²/4

Следовательно 

BD² + CE² = a² + b²/4 + b² + a²/4 = 5/4 * (a² + b²) = 5/4 * AB²