1. Один из смежных углов - острый.Каким будет второй угол?
а) острым б)прямым в)тупым
2.Найдите угол ,если сумма двух смежных с ним углов равна 210*
3.Какое наименьшее число лучей может выходить из одной точки,чтобы все углы,образованные соседними лучами,были острыми?
4.Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см.Одна из его сторон равна 6см.Найдите длины двух других сторон.
5.Угол 1 = 135,угол 2 = 45 . Определите взаимное расположение прямых m и n
a) пересекаются б)параллельны в)такая ситуация невозможно.
6.Определите вид треугольника ,если сумма двух его углов меньше третьего угла.
а)остроугольный б)прямоугольный в)тупоугольный г)определить невозможно.
7.Углы треугольника относятся 1:1:2. Определите вид данного треугольника.
По углам По сторонам
1.остроугольный 1.разносторонний
2.прямоугольный 2.равносторонний
3.тупоугольный 3.равнобедренный
8.сколько различных треугольников можно составить из пяти отрезков,длины которых равны 1см,2см,3см,4см,5см?
Часть В
1.В треугольнике АВС медиана BD является биссектрисой треугольника. Найдите периметр треугольника АВС,если периметр треугольника ABD равен 16см BD=5см.
2.Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите АВ ,если АС=12см.
3.Дан прямоугольный треугольник АСВ. Найдите угол АОВ,где О - точка пересечения биссектрис острых углов треугольников.
4.Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка D ,такая, что угол BAD равен углу BCD =15. Найдите угол ADC.
5. Биссектриса AD и BE на медиане треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника,если угол АОЕ = 50.
6.В треугольнике АВС на медиане BD отмечена точке О,такая, что угол САО равен углу ОСА. Расстояния от точки О до стороны АВ равно 8 см,а до стороны АС равно 5см.Найдите расстояние от точки О до стороны ВС.
Ответы
1. Острый угол меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°, значит смежный с острым угол будет больше 90°, т.е. тупой.
Ответ: в)
2. ∠1 - искомый, ∠2 и ∠3 - смежные с ним. Так как сумма смежных углов равна 180°, то
∠1 + ∠2 = 180° и ∠1 + ∠3 = 180°, значит ∠2 = ∠3 = 210°/2 = 105°.
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°
3. Полный угол составляет 360°, острый угол меньше 90°. Пусть n - количество углов с вершиной в одной точке.
360° / n < 90°
4 / n < 1
n > 4, т. е. 5 лучей можно провести.
4. Пусть 6 см - основание треугольника, тогда сумма боковых сторон:
18 - 6 = 12 см, а так как боковые стороны равны, то каждая равна 6 см.
Если 6 см - боковая сторона, то приходим к тому же результату:
18 - 6 · 2 = 18 - 12 = 6 см.
Ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.
5. ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние при пересечении прямых m и n секущей а, так как их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°), то прямы параллельны.
Ответ: б)
6. ∠1 + ∠2 < ∠3
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, значит ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3.
Подставим в первое неравенство:
180° - ∠3 < ∠3
2∠3 > 180°
∠3 > 90°
Значит треугольник тупоугольный.
Ответ: в)
7. Пусть х - меньший угол, тогда 2х - больший. Сумма углов треугольника 180°:
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
x = 45°
Углы треугольника 45°, 45° и 90°.
Ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.
8. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Этому условию удовлетворяют только тройки чисел: 2, 3, 4 и 3, 4, 5.
Ответ: 2 треугольника.
Часть В.
1. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
АВ + AD = Pabd - BD = 18 - 5 = 13 см
BC = AB, CD = AD,⇒
Pabc = 2(AB + AD) = 2 · 13 = 26 см
2. АМ = МС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВМ медиана.
В ΔАВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный,
АВ = АМ = 6 см.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
∠А + ∠В = 90°, тогда сумма их половин в два раза меньше:
∠1 + ∠2 = 45°.
В ΔАОВ: ∠АОВ = 180° - (∠1 + ∠2) = 180°- 45° = 135°
4. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, тогда
∠DAC = ∠DCA= 60° - 15° = 45°.
ΔADC: ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°
5. Неточность в условии:
Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠АОЕ = 50°.
∠АОЕ - внешний угол треугольника АОВ, значит равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:
∠АОЕ = ∠1 + ∠2 = 50°
Так как AD и ВЕ биссектрисы, то сумма углов А и В треугольника АВС будет в два раза больше:
∠А + ∠В = 2∠АОЕ = 2 · 50° = 100°.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 100° = 80°
6. ∠ОАС = ∠ОСА, ⇒⇒ΔОАС - равнобедренный, тогда медиана BD является и высотой, значит и ΔАВС тоже равнобедренный.
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
OD⊥AC,⇒ ОС = 5 см.
Проведем ОЕ⊥АВ и OF⊥ВС. ОЕ = 8 см по условию.
Но BD и биссектриса равнобедренного треугольника АВС, а все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит
OF = OE = 8 см
