Question

Медиана треугольника перпендикулярна его биссектрисе. Найдите наибольшее значение длины самой длинной стороны треугольника, если средняя по длине сторона отличается и от большей и от меньшей на 2.

Answer 1

Пусть дан треугольник АВС. 
ВМ - медиана к большей стороне АС, 
СК - биссектриса. 
СК ⊥ ВМ и пересекает её в точке Н. 
Пусть АВ средняя сторона и равна х, тогда
ВС=х-2
АС=х+2
Т.к. биссектриса СН ⊥ ВМ, она является  и высотой Δ ВСМ. 
Если высота и биссектриса  треугольника совпадают, треугольник - равнобедренный. 
МС=ВС=х-2
АМ=МС⇒
АС=2х-4
АС-АВ=2
2х-4-х=2
х=6⇒
АС=6+2=8