Question

Решите уравнение cos(3п/2 -2х)=sqrt 2  sin X. б)Найти корни принадлежащие промежутку [3п;9п/2]

Answer 1

 [3п;9п/2] - это I, III и IV четверти.

$cosleft(frac{3pi}2 -2xright)=sqrt 2sin x\cosleft(frac{3pi}2-alpharight)=-sinalpha\-sin2x=sqrt2sin x\-2sin xcos x=sqrt2sin x$

Решение cos x = 0 в данном случае не подходит, т.к. в таком случае и sin x = 0, а такого быть не может.

Здесь возможно решение $sin x = 0$. Тогда

$x=pi n\xinleft[3pi;frac{9pi}2right]Rightarrowquad3pileqpi nleqfrac{9pi}2\3leq nleqfrac92Righarrow n=3,quad n=4\x=3pi,quad x=4pi$

Если же $sin xneq0$, то можно поделить обе части выражения на sin x:

$-2cos x=sqrt2\cos x=-frac{sqrt2}2\x=frac{3pi}4+2pi n,quad x=frac{5pi}4+2pi n$

Первый корень лежит во второй четверти значит, нам не походит.

$xinleft[3pi,frac{9pi}2right]Rightarrow\ 3pileqfrac{5pi}4+2pi nleqfrac{9pi}2\ frac{7pi}4leq2pi nleqfrac{13pi}4\ frac{7pi}8leqpi nleqfrac{13pi}8\ frac78leq nleqfrac{13}8\n=1\x=frac{5pi}4+2pi=frac{13pi}4$

Итого на отрезке [3п;9п/2] уравнение имеет 3 решения:

$3pi,quad 4pi,quadfrac{13pi}4$