Question

доказать, что выражение x в квадрате +8x+18 принемает положительное значение при любом x.Какое наименьшее значение принемает это выражение и прикаком x?

Answer 1

Дискриминант меньше нуля;

(х+4)^2+2;

Наименьшее значение 2

Answer 2

Рассматривается выражение $y = x^2 + 8x + 18$

 

Докажем, что y положительно при любом значении x. Допустим, что это не так. Найдём такие x, при которых y ≤ 0. Для этого решим неравенство:

 

$x^2 + 8x + 18 leq 0 Leftrightarrow x^2 + 8x + 16 + 2 leq 0 Leftrightarrow left(x + 4right)^2 + 2 leq 0$

 

Или

 

$left(x + 4right)^2 leq -2$

 

Что не имеет решений, так как $left(x + 4right)^2 geq 0 ;; forall x$

 

Мы пришли к противоречию. Следовательно, $y = x^2 + 8x + 18$ принимает положительное значение при любых x.

 

Для нахождения наименьшего значения найдём $frac{dy}{dx}$:

 

$frac{dy}{dx} = 2x + 8$

 

Приравняв его 0, найдём точку экстремума:

 

$2x + 8 = 0 Rightarrow x = -4$

 

Убедимся, что найденная точка — действительно минимум.

 

$frac{dy}{dx}|_{x=-5} = -10 + 8 = -2 < 0$

 

$frac{dy}{dx}|_{x=-3} = -6 + 8 = 2 > 0$

 

Итак, первая производная меняет в точке $x = -4$ знак с "-" на "+", следовательно, в этой точке мы действительно имеем минимум.

 

Значение y при x = -4:

 

$y|_{x=-4} = (-4)^2 + 8 cdot (-4) + 18 = 2$