Question

В выпуклом многоугольнике число диагоналей, исходящих из вершины, равно 15. Найти число всех диагоналей этого многоугольника.

Answer 1

решение, я думаю, довольно простое. Не нужны формулы, просто включаем мозги.
Итак, есть выпуклый многоугольник. как подсчитать , сколько диагоналей можно провести из одного угла? Этот угол не в счет. Значит, "минус один". К соседним двум тоже не проведешь диагональ, т.к. это будут стороны. Значит, еще минус два. Итого минус три . к остальным проводятся. Т.е. у такого n-угольника можно из каждого угла провести (n-3) диагонали, а таких углов n? тогда диагоналей будет n*(n-3)
но некоторые начинают повторяться . С 1-го и 2-го угла можно провести  n-3, с 3-го  n-4 и т.д. до n-2 угла. С него проводится только 1 диагональ. Т.е. считая с конца, можно провести 1+2+3+...+(n-3)  (это со 2-го угла)  + (n-3) (это с первого) . Получается арифметическая прогрессия  S=  $frac{1+(n-3)}{2} *(n-3)$  и еще плюс (n-3)

где n-кол-во углов
у нас n=15+3=18
тогда диагоналей 135
вроде так

Answer 2

спасибо, да

Answer 3

задачу я решил неправильно, не полностью, там же диагонали повторяются

Answer 4

а как правильно?

Answer 5

в смысле в тформулу нужно подставлять не n, а (n-3), т.е. 15, оно ж уже нам дано :)

Answer 6

кстати, решал быстро, не сообразил, как по-другому. Вот теперь вернулся к решению. На половине решения я сказал, что диагоналей будет n*(n-3) Но эти диагонали проводятся дважды- от вершины и к вершине. Тогда их будет n*(n-3)/2. Если упростить S, то как раз и получается данный ответ