Question

 Найдите сумму корней уравнения:

$x^{0.5*log_{3}(x)}=3sqrt{x}$

Ответы:

$2frac{8}{9}$

$9frac{1}{3}$

$3frac{1}{9}$

3

$8frac{2}{3}$

Просьба поподробнее.

Answer 1

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х,получим log 3 (sqrt(x))=log x (3) + 1/2;

Упростим 1/2log 3 (x) = 1/(log 3 (x)) +1/2;

Введем подстановку t= log 3 (x);

Приводим квадратному уравнению: t^2/2=1+t/2;

t^2-t-2=0;Корни уравнения: -1;2

Log 3 (x) = 2;

x=9;

Log 3 (x) = -1;

x=1/3;

Ответ: сумма равна 9(1/3)

Answer 2

$x^{0.5*log_3x}=sqrt[3]x\ log_3x^{0.5*log_3x}=log_3x^frac{1}{3}\ 0.5*log_3x*log_3x=frac{1}{3}*log_3x\ frac{1}{2}*log_3^2x-frac{1}{3}*log_3x=0\ log_3x*(frac{1}{2}*log_3x-frac{1}{3})=0\ begin{cases}log_3x=0\ frac{1}{2}*log_3x-frac{1}{3}=0 end{cases} \ begin{cases}x=1\ log_3x=frac{2}{3} end{cases} \ begin{cases}x=1\ x=3^frac{2}{3} end{cases}$

подставил в уравнение, ответы подошли, но среди списка нет

 

я не понял как прологарифмировал Marines и получил такой ответ (не разборчивое решение), но логарифмировать по основанию х не совсем корректно (с моей точки зрения). Область определения степенной функции х>0, а у логарифма основание >0 и не равно 1, т.е. искусственно сузил область определения, из рассмотрения выпал х=1, кстати, он подходит.