Question

В треугольнике с вершинами в точках A (4; 5; 0), B (2; 3; 0) и C (2; 5; 2) найдите в градусах сумму углов при основании AC.

Answer 1

Решаю векторами.

 

Компоненты векторов $overrightarrow</var>{AB}$, <img src=[/tex]overrightarrow{AC}" title="overrightarrow{AC}" alt="overrightarrow{AC}" /> и $<var>overrightarrow</var>{CB}$:

 

$<var>overrightarrow{AB} = textbf{r}_B - textbf{r}_A = { -2; -2; 0 }$, $<var>overrightarrow</var>{AC}$ и $<var>overrightarrow</var>{CB}$:

 

$overrightarrow</var>{AB}$, $<var>overrightarrow</var>{AC}$ и $<var>overrightarrow</var>{CB}$:

 

$<var>overrightarrow{AB} = textbf{r}_B - textbf{r}_A = { -2; -2; 0 }$

 

$overrightarrow{AC} = textbf{r}_C - textbf{r}_A = { -2; 0; 2 }$

 

$overrightarrow{CB} = textbf{r}_B - textbf{r}_C = { 0; -2; -2 }$

 

Нормы (модули, величины, длины) этих векторов:

 

$left|overrightarrow{AC}right| = sqrt{(-2)^2+0^2+2^2} = sqrt{8}<var>$

 

$</var>left|overrightarrow{AB}right| = sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2} = sqrt{8}<var>$

 

$</var>left|overrightarrow{CB}right| = sqrt{0^2+(-2)^2+(-2)^2} = sqrt{8}$

 

Угол между векторами $overrightarrow</var>{AC}$

 

$overrightarrow{AC} = textbf{r}_C - textbf{r}_A = { -2; 0; 2 }$

 

$overrightarrow{CB} = textbf{r}_B - textbf{r}_C = { 0; -2; -2 }$

 

Нормы (модули, величины, длины) этих векторов:

 

$left|overrightarrow{AC}right| = sqrt{(-2)^2+0^2+2^2} = sqrt{8}<var>$

 

$</var>left|overrightarrow{AB}right| = sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2} = sqrt{8}<var>$

 

$</var>left|overrightarrow{CB}right| = sqrt{0^2+(-2)^2+(-2)^2} = sqrt{8}$

 

Угол между векторами $<var>overrightarrow{AB} = textbf{r}_B - textbf{r}_A = { -2; -2; 0 }$

 

$overrightarrow{AC} = textbf{r}_C - textbf{r}_A = { -2; 0; 2 }$

 

$overrightarrow{CB} = textbf{r}_B - textbf{r}_C = { 0; -2; -2 }$

 

Нормы (модули, величины, длины) этих векторов:

 

$left|overrightarrow{AC}right| = sqrt{(-2)^2+0^2+2^2} = sqrt{8}<var>$

 

$</var>left|overrightarrow{AB}right| = sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2} = sqrt{8}<var>$

 

$</var>left|overrightarrow{CB}right| = sqrt{0^2+(-2)^2+(-2)^2} = sqrt{8}$

 

Угол между векторами $overrightarrow</var>{AC}$ и $<var>overrightarrow</var>{AB}$:

 

$<var>cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}right) = frac{overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB}}{left|overrightarrow{AC}right| left|overrightarrow{AB}right|}$ и $<var>overrightarrow</var>{AB}$:

 

$overrightarrow</var>{AC}$ и $<var>overrightarrow</var>{AB}$:

 

$<var>cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}right) = frac{overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB}}{left|overrightarrow{AC}right| left|overrightarrow{AB}right|}$

 

Скалярное произведение

 

$overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB} = (-2) cdot (-2) + 0 cdot (-2) + 2 cdot 0 = 4$

 

Имеем

 

$cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}right) = frac{4}{sqrt{8} cdot sqrt{8}} = frac{4}{8} = frac{1}{2}$

 

В градусах:

 

$arccos : frac{1}{2} = 60^{circ}" title="<var>cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}right) = frac{overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB}}{left|overrightarrow{AC}right| left|overrightarrow{AB}right|}" /></var></var></p> <p> </p> <p>Скалярное произведение</p> <p> </p> <p>[tex]overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB} = (-2) cdot (-2) + 0 cdot (-2) + 2 cdot 0 = 4$

 

Имеем

 

$cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}right) = frac{4}{sqrt{8} cdot sqrt{8}} = frac{4}{8} = frac{1}{2}$

 

В градусах:

 

$arccos : frac{1}{2} = 60^{circ}" alt="<var>cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}right) = frac{overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB}}{left|overrightarrow{AC}right| left|overrightarrow{AB}right|}" /></var></var></p> <p> </p> <p>Скалярное произведение</p> <p> </p> <p>[tex]overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB} = (-2) cdot (-2) + 0 cdot (-2) + 2 cdot 0 = 4$

 

Имеем

 

$cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}right) = frac{4}{sqrt{8} cdot sqrt{8}} = frac{4}{8} = frac{1}{2}$

 

В градусах:

 

$arccos : frac{1}{2} = 60^{circ}" /></var></p> <p> </p> <p>Угол между векторами [tex]overrightarrow</var>{AC}$ и <img src=[/tex]overrightarrow{CB}" title="overrightarrow{CB}" alt="overrightarrow{CB}" />:

 

$<var>cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{CB}right) = frac{overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{CB}}{left|overrightarrow{AC}right| left|overrightarrow{CB}right|}$ и $<var>overrightarrow</var>{CB}$:

 

$overrightarrow</var>{AC}$ и $<var>overrightarrow</var>{CB}$:

 

$<var>cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{CB}right) = frac{overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{CB}}{left|overrightarrow{AC}right| left|overrightarrow{CB}right|}" /></var></p> <p> </p> <p>Скалярное произведение</p> <p> </p> <p>[tex]overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{CB} = (-2) cdot 0 + 0 cdot (-2) + 2 cdot (-2) = -4$

 

Имеем

 

$cos angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{CB}right) = frac{-4}{sqrt{8} cdot sqrt{8}} = frac{-4}{8} = -frac{1}{2}$

 

В градусах:

 

$arccos left(-frac{1}{2}right) = 120^{circ}$

 

Нас интересует угол

 

$angle left(overrightarrow{CA}, overrightarrow{CB}right) = 180^{circ} - angle left(overrightarrow{AC}, overrightarrow{CB}right) = 180^{circ} - 120^{circ} = 60^{circ}$

 

Сумма углов будет

 

$60^{circ}</var> + <var>60^{circ}</var> = 120<var>^{circ}$