Question

1)Во время весеннего паводка изменение объема поступающей в озеро воды в течение суток можно описать уравнением S(t)=10+4t гдеS(t) – объем поступившей в озеро воды (в м3) за время t (в часах), 0<t<24
Для того чтобы уровень воды в озере не превысил предельный уровень, оборудован сток воды из озера с постоянной скоростью 58 м3/ч. В момент времени t=0 объем воды в озере составил 30000 м3 , если V(t) объем воды в озере в момент времени t , то математическая модель для нахождения V(t) может иметь вид
___________.
2) а) Объем воды в озере в момент времени t=6 часов равен _______.
б) Объем воды в озере в момент времени t=16 часов равен _______.
3)Если в момент времени t=18 сток воды из озера был перекрыт и до конца суток воды из озера не вытекала, то объем воды в озере в конце дня ( t=24 часа) будет равен ________.

Answer 1

S(t) это объем поступившей воды. Известно из условия

Пусть x(t) это будет скорость стока воды

x(t)=58

Чтобы найти объем в любой момент времени нужно из объема поступающей воды (у нас он равен S(t) вычесть объем вытекающей воды, его надо найти)

Обозначит объем вытекающей воды y(t), тогда справедливо следующее уравнение:

$x(t)=frac{dy(t)}{dt}$

 

 

 Теперь отсюда найдем y(t):

$x(t)=frac{dy(t)}{dt} \ x(t)dt=dy(t) \ int{x(t)}, dt=int{dy(t)}, dt \ int{x(t)}, dt=y(t) \y(t)=int{x(t)}, dt$

 

 Теперь собственно найдем интеграл:

$x(t)=58 \ \ y(t)=int{58}, dt=58t+C$, где C=const

Теперь запишем общий вид уравнения для нахождения V(t)

V(t)=S(t)-y(t)

 

 

 

 

$V(t)=10+4t-58t-C=10-54t-C$

Теперь надо найти чему равна С. Нам известно что V(0)=30 000, воспользуемся этим фактом:

$V(0)=10-54cdot 0-C=30 000 \ 10-C=30 000 \ C=-29 990$

Подставим в наше уравнение:

$V(t)=10-54t+29990=30000-54t$

 

 

 Таким образом получаем, что математическая модель для нахождения V(t) имеет вид:

 

  $V(t)=30000-54t$ 

 

 

 2) Найдем объем воды при t=6

 

 

 

 

 $V(6)=30000-54cdot 6=29676$ м3

 

 

 

 

 

 3) Объем воды при t=16

$V(16)=30000-54cdot 16=29136$ м3

 

 

4)  )Если в момент времени t=18 сток воды из озера был перекрыт и до конца суток воды из озера не вытекала. Найдем объем воды на конец дня.

Сначала найдем объем воды на момент  t=18

$V(18)=30000-54cdot 18=29028$ м3

 

 Поскольку вода не вытекает, то объем воды в озере будет только прибывать. Значит математическая модель будет иметь вид:

V(t)=S(t)=10+4t

 

 

 Вода прибывала 24-18=6 часов, значит надо вычислить какой объем воды втек за 6 часов

V(6)=10+4*6=34 м3

Значит на конец дня объем воды будет  29028+34=29 063 м3

 

 Ответ:

 

 

 1)   $V(t)=30000-54t$ 

 

 2)

 

 а)  29 676 м3

 б)  29 136 м3 

 

 3)  29 063 м3